Factorización de polinomios: Los 5 casos de factoreo

Factorear un polinomio, es expresarlo como producto de sus factores primos.

1° Caso de factoreo: Factor común

Ejemplo a) :
15x⁴ - 5x²=  {la forma de hallar el mcd, es dividir por un mismo numero}
5x² * (3x² - 1)

b) 8m²p + 4p³m⁴q² - 16m³p²q
4m²p¹ * (2 + 1m²p²q² - 4mpq)
{la letra/variable se tiene que repetir en todos los términos} {si tiene exponente ¹, como el p¹, podemos dejar la p solita}

Pasos:

1. Buscar el Máximo Común Divisor (mcd) de los coeficientes.
2. Buscar la letra que se repita, con su menor exponente.
3. Dividir cada término con el factor común

2° Caso de factoreo: Factor común por grupos

Ejemplo:

16amx - 8amy + 2x - y =

(16amx - amy) + (2x - y) =

8am * (2x - 1y) + 1 * (2x - y)

(2x - 1y) * (8am + 1)

Pasos:

1. Formar grupos, donde tenga el mayor numero de variables iguales.Los grupos deben ser de igual cantidad de términos, o por ejemplo en grupos de 6 términos podemos dividir en 3 pares.
2. Sacar el factor común de cada grupo.
3. Vuelva a sacar el factor común, dejando por un lado los de adentro(que deben coincidir incluyendo el signo), y los de afuera.

3° caso de factoreo: Trinomio Cuadrado Perfecto

[a² + 2ab + b²] = (a + b)²         ó         [a² - 2ab + b²] = (a - b)²

            ↓ 

No siempre aparece en ese orden

EJ: 25 + 10x + x² = (5 + x)²

o por ejemplo: 25 - 10x + x² = (5 - x)²

Pasos:

1. Encuentra dos términos que sean cuadrados, o sea que se pueda hallar la raíz cuadrada
   a) √(25) = 5
   b) √(x²) = x
2. Verifica que el término que queda sea el 2*a*b
   2*a*b = 2*5*x = 10X
3. Expreso el resultado: (5 + x)²
   

4° Caso de Factoreo: Cuatrinomio Cubo Perfecto

[a³ + 3a²b + 3ab² + b³] = (a + b)³

Ejemplo:

8 + 12x + 6x² + x³ =         (2 + x)³

a= ³√(8) = 2 

b= ³√(x³) = x 

Verificación:

3a²b = 3 * 2² * x = 12x

3ab² = 3 * 2 * x² = 6x²

Pasos:

1. Encontramos dos términos que sean cubos perfectos, osea que podamos hallar las raíz cubica.
2. Verificamos el 3*a²*b & 3*a*b²

5° Caso de Factoreo: Diferencia de Cuadrados

a² * b² = (a + b) * (a - b)          →          Producto de Binomios Conjugados

Ejemplo:

x² - 9 = (x + 3) * (x - 3)

a= √(x²) = x

b= √(9) = 3

Sin duda el mas fácil, no? Simplemente buscamos aquellos que tienen que estén restando y se puedan sacar la raíz cuadrada.La hallamos y expresamos sus resultados sumando y restando.