¿Que caso de factoreo debo aplicar?

Acá les dejo un machete que en caso de examen deberían saberlo de memoria:

De a cuerdo a la cantidad de términos que caso de factoreo debemos aplicar.

• 2 Términos: Podemos aplicar el 1° caso (aplicar siempre, buscar el m.c.d. de los coeficientes y las letras que se repitan en todos los términos) - 5° caso (dos términos, una resta, y los dos son cuadrados)
• 3 Términos: 1° caso ó pasamos al 3° caso (trinomio cuadrado perfecto, 3 términos,2 son cuadrados perfectos y el otro término es el 2ab)
• 4 Términos: 1° caso - 2° caso (factor común por grupos 4;6;8;9 términos agrupados y sacar el Factor común de cada grupo) - 4° caso (Cuatrinomio Cubo Perfecto,4 términos,2 son cubos perfectos y los otros son: 3*a²*b & 3*a*b².

Casos combinados de Factoreo

A más de uno le habrá dado dolor de huevos, simplemente por complicarnos la vida. Tenemos que tener en cuanta que probablemente todos los ejercicios que te den comenzaran con el factor común.

Ejemplos:

4x² - 8x + 4 = 4 * (x² - 2x + 1) {Aplicamos el factor común}
a= √(x²) = x
b= √(1) = 1    = 4*(x - 1)²   {trinomio cuadrado perfecto}
2*a*b = 2*x*1 = 2x

x⁴ - x² = x² * (x² - 1) {factor común}
x² * (x+1) * (x-1) {coeficiente de cuadrado}

Factorización de polinomios: Los 5 casos de factoreo

Factorear un polinomio, es expresarlo como producto de sus factores primos.

1° Caso de factoreo: Factor común

Ejemplo a) :
15x⁴ - 5x²=  {la forma de hallar el mcd, es dividir por un mismo numero}
5x² * (3x² - 1)

b) 8m²p + 4p³m⁴q² - 16m³p²q
4m²p¹ * (2 + 1m²p²q² - 4mpq)
{la letra/variable se tiene que repetir en todos los términos} {si tiene exponente ¹, como el p¹, podemos dejar la p solita}

Pasos:

1. Buscar el Máximo Común Divisor (mcd) de los coeficientes.
2. Buscar la letra que se repita, con su menor exponente.
3. Dividir cada término con el factor común

2° Caso de factoreo: Factor común por grupos

Ejemplo:

16amx - 8amy + 2x - y =

(16amx - amy) + (2x - y) =

8am * (2x - 1y) + 1 * (2x - y)

(2x - 1y) * (8am + 1)

Pasos:

1. Formar grupos, donde tenga el mayor numero de variables iguales.Los grupos deben ser de igual cantidad de términos, o por ejemplo en grupos de 6 términos podemos dividir en 3 pares.
2. Sacar el factor común de cada grupo.
3. Vuelva a sacar el factor común, dejando por un lado los de adentro(que deben coincidir incluyendo el signo), y los de afuera.

3° caso de factoreo: Trinomio Cuadrado Perfecto

[a² + 2ab + b²] = (a + b)²         ó         [a² - 2ab + b²] = (a - b)²

            ↓ 

No siempre aparece en ese orden

EJ: 25 + 10x + x² = (5 + x)²

o por ejemplo: 25 - 10x + x² = (5 - x)²

Pasos:

1. Encuentra dos términos que sean cuadrados, o sea que se pueda hallar la raíz cuadrada
   a) √(25) = 5
   b) √(x²) = x
2. Verifica que el término que queda sea el 2*a*b
   2*a*b = 2*5*x = 10X
3. Expreso el resultado: (5 + x)²
   

4° Caso de Factoreo: Cuatrinomio Cubo Perfecto

[a³ + 3a²b + 3ab² + b³] = (a + b)³

Ejemplo:

8 + 12x + 6x² + x³ =         (2 + x)³

a= ³√(8) = 2 

b= ³√(x³) = x 

Verificación:

3a²b = 3 * 2² * x = 12x

3ab² = 3 * 2 * x² = 6x²

Pasos:

1. Encontramos dos términos que sean cubos perfectos, osea que podamos hallar las raíz cubica.
2. Verificamos el 3*a²*b & 3*a*b²

5° Caso de Factoreo: Diferencia de Cuadrados

a² * b² = (a + b) * (a - b)          →          Producto de Binomios Conjugados

Ejemplo:

x² - 9 = (x + 3) * (x - 3)

a= √(x²) = x

b= √(9) = 3

Sin duda el mas fácil, no? Simplemente buscamos aquellos que tienen que estén restando y se puedan sacar la raíz cuadrada.La hallamos y expresamos sus resultados sumando y restando.

Cubo de un Binomio

(a + b)³ = (a + b) * (a + b)²
             = (a + b) * (a² + 2 * a * b + b²)
             = a³ + 2 a² b + ab² + ba² + 2 ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 3a² * b + 3a * b² + b³            →    Cuatrinomio Cubo Perfecto
El cubo de un binomio: Es igual al primer término al cubo, más el triple producto del primer término al cuadrado por el segundo, más el triple producto del primer término por el segundo al cuadrado, más el segundo término al cubo.

Ejemplo:

(-9x + 7)³         =         (-9x)³ + 3*(-9x)²*7 + 3*(-9x)*7² + 7³
(1° potencia)    = -729x³ + 3*81x²*7 + 3 (-9x)*49 + 343
(2° potencia)    = -729x³ + 1701x² - 1323x + 343

Cuadrado de un binomio

(a + b)² = (a + b) * (a + b) = a² + ab + ba + b²
                                          = a² + 2ab + b²    
                                                  ↓
El Cuadrado de un binomio: Es igual al primer termino al cuadrado, más el doble producto del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado.

Ejemplos:

1) (2x + 3)² = (2x)² + 2*2x*3 + 3²
             
               = 4x² + 12x + 9   →Trinomio Cuadrado Perfecto
2) (-5x² + 7) = (-5x²)² + 2 * (-5x²) *7 + 7x²      (multiplico los exponentes, osea 2*2, en el primer término)
                    = 25x⁴ - 70x² + 49

Verificación de la regla de ruffini, teorema del resto

EJ:

(-7x - x⁴ + 1) / (x + 1) =
(-x⁴ + 0x³ + 0x² - 7x + 1) / (x + 1) =

      |   -1   0    0    -7    1
-1   |         1   -1     1    6
___________________
      |   -1   1   -1    -6    7      →Resto!
Cociente: -1x³ + 1x² - 1x - 6

Teorema del resto: Debemos reemplazar en el polinomio dividendo a la variable (x), por el opuesto del termino independiente del divisor (En este caso: -1)

(-7x - x⁴ + 1)                /                (x + 1)

-7 * (-1) - (-1)⁴  + 1 =

7 - 1 +1 = 7

Si el resultado es el mismo que el resto, entonces nuestra división es correcta.

División de polinomios: Regla de ruffini

• La división es de la forma (x+|- a) [positivo o negativo]

Ej:

(2x + 5x³) / (x - 2)

1. Completar y ordenar el polinomio dividendo

(5x³ + 0x² + 2x + 0) / (x -2)

(Ordenamos de esta manera, el valor numérico. NO olvidarse que debe cambiar de signo del divisor)

Al primero (en este caso 5), la bajamos como esta, se debe multiplicar (por +2 en este caso), por el opuesto del divisor (el resultado queda debajo del 0 (10 en este caso), hay debemos sumar por el de arriba (0+10 en este caso y bajamos el resultado) y hacemos lo mismo hasta que nos dé un resto final.

      |    5       0       2       o

+2  |  ↓   10      20     44

-------------------------------------

      |   5      10      22     44            → este sera nuestro Resto

El cociente: 5x² + 10x + 22    (El primer exponente debe ser uno menor al mayor del polinomio dividendo)

SI deseamos verificarla

Multiplicación de polinomios

Ejemplo:  (-7x + 9x³ - 2) * (-7x² + 9x³) =

1. Completo y ordeno el polinomio multiplicando, y ordeno el polinomio multiplicador.

9x³ + 0x² - 7x - 2

9x³ - 7x²

--------------------------     (2.   multiplico cada termino del polinomio multiplicador ,por cada termino del polinomio multiplicando)

         -63x⁵ + 0x⁴ + 49x³ + 14x²

81x⁶ + 0x⁵  - 63x⁴ - 18x³

-----------------------------------              (3.   Sumo términos semejantes)

81x⁶ - 63x⁵ - 63x⁴ - 31x³ + 14x²

Multiplicación de un monomio por un polinomio

-7x²            * (-4x + 9x³ - 3) = 28x³ - 63x⁵ + 21x²
(monomio)      (polinomio)

• Para resolver la multiplicación de un monomio por un polinomio, solo se debe aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.

(recordar, que en la multiplicación los exponentes debo sumar)

-7x² * (-4x) = 28x³

-7x² * (9x³) = -63x⁵

-7x² * (-3) = 21x²

Operaciones con Polinomios (suma y resta)

Suma de polinomios: En primer lugar debo ordenar, completar los polinomios, y luego ubicar debajo del otro; de modo que quede ubicado debajo de su semejante.

Ej:
P(x) = -4x²-9+11x³
Q(x) = -x+11x²-x⁴

Hallar: P(x) + Q(x)

        11x³ -  4x² + 0x -  9
-x⁴ + 0x³ + 11x² - 1x + 0
--------------------------------------
-x⁴ + 11x³+ 7x² - 1x - 9

Resta de Polinomios: Para restar dos polinomios, se le debe sumar al primer polinomio,el opuesto del segundo polinomio.

Ej:

(-9x² + 1/2 - 3x³) - (-x⁴ + 5x² - 2 + x) =
(-9x² + 1/2 - 3x³) + (x⁴ - 5x² +2 - x)

0x⁴ - 3x³ - 9x² + 0x + 1/2
x⁴ +  0x³ - 5x² -  x   + 2
-----------------------------------
 x⁴ - 3x³ - 14x² - 1x + 5/2

Polinomios

Los polinomios son Expresiones Algebraicas Enteras donde intervienen la suma y la resta, o una de ellas solamente.

Clasificación: Según la cantidad de términos que tengan se clasifican en,

• Binomio: 2 términos   ej: 2x + 2

• Trinomio: 3 términos  ej: 3x³ + 5x - 1

• Cuatrinomio: 4 términos  ej: 4x + 3x³ - 2 + 5x

• Si tiene más términos, se lo denomina "polinomio de N terminos", siendo N la cantidad

Grado de un polinomio: Es el término de mayor grado

Ej: -2x² + 10x⁴ - 1                      Grado = 4

Coeficiente principal: Es el que acompaña a la ariable de mayor grado       =    10

Término Independiente: Es es que carece de variable    =    -1

Polinomio Completo y Ordenado

Un polinomio esta completo y ordenado, cuando figuran todas las potencias de esa letra,menores que la de mas alto grado, ordenadas de forma creciente o decreciente. (se completa con +0x, y no olvidarse del termino independiente y del x¹)

EJ:

-3x + 5x⁴ = 5x⁴ + 0x³ + 0x² - 3x + 0

2 - 7x⁵ + 4x² - 3x = -7x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 4x² - 3X + 2

Operaciones con Monomios y Reducción de monomios

Suma de monomios: Para sumar monomios lo único que tenemos que tener en cuenta es que estos sean semejantes.

EJ: -7 x² + 11x² - 3x² = (-7+11-3)x² = 1x²

9x³y + 13yx³ - 11x³ + 20x³y - x³ = 42x³y - 12x³

(por un lado tenemos a 9x³y ;  13yx³ ; 20x³y ; y por otro lado -11x³ ;  - x³)

Multiplicación de monomios: Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de igual base.

EJ: (-3x²) *  (-5x³) = 15x⁵

(-2x²y) * 3x³ * (-7xy) = 42 x⁶ y²

(-9a²b³) * (-3a²b⁵) = 27 a⁴ b⁸

División de monomios: Se deben dividir los coeficientes, y con respecto a la parte literal se deben restar los exponentes de igual base.
EJ: (-6m³p) / (-2m²p) = 3m   (3 menos 2, 1 menos 1)

(-15 x⁵y²) / (-5xy²) = 3x⁴  (5 menos 1, 2 menos 2)

Potencia de monomios: Se deben elevar los coeficientes a la potencia indicada, y con respecto a la parte literal se deben multiplicar con los exponentes.

EJ: (-5 m⁴ p²)² = 25 m⁸ p⁴   (2 * 4 y 2*2)

(-1/2 a² b³ c)⁵ = -1/32 a¹⁰ b¹⁵ c⁵

Reducción de monomios

Se hace la raíz del coeficiente, y con respecto a la parte literal se deben dividir los exponentes con el indice.

EJ:

 √(9 m⁴ p²) = 3m²p¹

⁵√(-32 x¹⁵ y¹⁵ z = -2 x³ y³ ⁵√z

⁴√(81/625 x²⁰ y¹⁶ z³) = 3/5 x⁵ y⁴ √z³

Expresiones Algebraicas Enteras (monomios)

Son aquellas en las cuales las letras (variables) están afectadas únicamente a operaciones de Suma, resta, multiplicación, y potencia de exponente positivo.

EJ: -2 x³ + y ; -3/4m³ ; √(7) x² y + 2 ; etc...     =   Son Expresiones Algebraicas Enteras.

√(x+y) + 2 ; 3/x(/5) (3 sobre X, dividido 5) ; x⁻³ + y²   =  No son Expresiones Algebraicas Enteras.

Monomios

Son Expresiones Algebraicas Enteras que tienen un sólo término.

EJ: 5x² ; -6m⁴ ; -1/2 a² b c

Grado de un monomio: Para hallar el grado de un monomio se deben sumar los exponentes de la parte literal. (Sumar los exponentes de las letras. Si no tienen exponente significa que esta elevado a 1,osea que también cuenta)

EJ: 2x² y³        Grado = 5

-3³ m² p         Grado = 3 

Monomios Semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte literal.

-6 m⁴ De este monomio: 

el signo es igual a -

El coeficiente es igual  6

la parte literal es igual a m⁴ 

EJ: 5/2 m² es semejante a 1³*m²

-5 x³ y ; es semejante a 13yx³ ; también a 17x³y

Valor Númerico

Valor numérico de una expresión algebraica

Si reemplazamos las letras por valores numéricos, obtenemos  el valor numérico de una Expresión Algebraica.

Ej:

3 * x² + 5 x - 1 =                                       Para X = 2

3 * (-2)² + 5 * (-2) - 1=

12 - 10 - 1 = 1

Expresiones Algebraicas (concepto y clasificación)

Las Expresiones algebraicas son combinaciones de números y letras, ligadas a operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia y radicación que cumplen con las mismas propiedades de los números.

Ejemplos: 5x² ; m+6*3 ; √ (x+y) - 2 ; 

Clasificación:

• Expresiones Algebraicas Enteras: 3 * x² + 1 ; 3⁻² * y ; √(5) * x
• Expresiones Algebraicas Fraccionarias: 1/x³ ; 5/a³ + m ; a⁵ + b² - 2
• Expresiones Algebraicas Irracionales: √(x+y) - 2 ; ³√(x²)=x²/³

Ecuaciones: Planteo y resolución de problemas (del lenguaje coloquial al simbólico)

Del lenguaje coloquial al simbólico:

• Un número = x (variable)
• Consecutivo de un número = (x+1)
• Anterior de un número = (x-1)
• Doble, triple,... de un número = 2x ; 3x ; ...
• Mitad, tercera parte, cuarta parte,... = 1/2x ; 1/3x ; 1/4x ; ...
• Aumentado = suma
• Diferencia = resta
• El opuesto de un número = -x

EJ: La diferencia entre la mitad de un número y el opuesto de -4 es igual a 96.

(Se nos facilita si identificamos primero la operación principal, en este caso una resta/diferencia)

(1/2x) - 4 = 96

(1/2x) = 96 + 4

(1/2x) = 100

x = 100 / (1/2)

X = 200

Conjuntos numéricos

• Los números naturales abarcan aquellos que conocemos normalmente como positivos, (ej: +2; 25; 89; etc).

El problema surge al haber números negativos, entonces surgen los números enteros.

• Los números enteros abarcan positivos y negativos, (ej: +7; -7; etc).

Entonces surge un problemilla, que sucedía por ejemplo con una división del tipo 11/3,nos da el número decimal 3.66666666667, y nacen los Números racionales.

• Los números racionales están constituidos por  fracciones y números decimales, (ej: 1,3 ; 1/2, etc)

• y finalmente están los Números Irracionales que son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción (ej: 5,1234... ; pi , etc)

Todos estos ingresan dentro de la categoría de los denominados Números Reales, 

hay que destacar que existen los números imaginarios como otro grupo de números mas complejo